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Brüche und Prozente

ProzenteDie gute Nachricht zuerst: Um im Medizinstudium zu bestehen, muss man kein begnadeter Mathematiker sein. Begriffe wie Integrale und Skalarprodukte sollten euch, zumindest im Physikum, erspart bleiben. Umso wichtiger ist es allerdings, die Grundlagen sicher zu beherrschen. Denn auch wenn die Mathematik normalerweise kein eigenes Prüfungsfach darstellt, werden euch Rechenaufgaben in vielen Klausuren begegnen.

Tipps zum Rechnen ohne Taschenrechner

Da ihr nun Medizin studieren wollt, kann man davon ausgehen, dass ihr mit den Begriffen Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren etwas anfangen könnt. Spätestens im Physikum müsst ihr diese Rechenoperationen aber ohne Taschenrechner durchführen können und das kann, wenn man seit der 7. Klasse nicht mehr mit Stift und Papier gerechnet hat, zu Problemen führen.
Doch es gibt Hoffnung: Häufig sind die Aufgaben so konstruiert, dass man bereits durch Überschlagen zum Ziel kommt. Bevor ihr euch in großen Rechnungen verliert, versucht zunächst zu überschlagen – wenn ihr Glück habt, liegt nur eine Antwortmöglichkeit in der Größenordnung eures Ergebnisses. Statt 289 × 5 214 rechnet ihr also einfach 300 × 5 200.
Antwortmöglichkeiten? Multiple-Choice-Klausuren sind euer treuster Begleiter durchs Medizinstudium. In der Regel gibt es fünf Antwortmöglichkeiten und ihr müsst lediglich euer Kreuzchen richtig setzen. Wenn ihr bei einer Frage nicht weiterkommt, kann es sich als nützlich erweisen, das Pferd von hinten aufzuzäumen und zu schauen, ob ihr durch sinnvolle Rechenoperationen von einer der Antwortmöglichkeiten zu den Werten aus der Frage. Doch dazu später mehr.

Auch für die Aufgabe 300 × 5 200 gilt: Beim Multiplizieren großer Zahlen nimmt man am besten erst einmal die Nullen am Ende weg, in diesem Fall sind es insgesamt vier.

Nun rechnet man 3 × 52, hängt an das Ergebnis (156) die Nullen wieder an und ist fertig:
300 × 5 200 = 1 560 000
Übrigens: Wenn ihr exakt gerechnet hättet (289 × 5 214), wäre euer Ergebnis 1 506 846, also gar nicht so weit entfernt vom Ergebnis unserer Überschlagsrechnung. Wenn die Antwortmöglichkeiten 1,5 Millionen, 3 Millionen, 5 Millionen, 10 Millionen und 12 Millionen gewesen wären, hätten wir uns mit Sicherheit richtig entschieden.
Nach einem ähnlichen Prinzip funktioniert das Multiplizieren von Dezimalzahlen. Angenommen, ihr müsst 5,67 × 2,04 rechnen, dann solltet ihr zunächst überschlagen. Wie wär’s mit 5,60 × 2,00? Zugegeben, hier kann man ohne große Schwierigkeiten erkennen, dass die Antwort 11,2 ist. Bei komplizierteren Aufgaben kann allerdings ein Trick notwendig werden: Ihr zählt die Nachkommastellen und schaut dann, dass das Ergebnis genauso viele Nachkommastellen hat, wie beide Faktoren zusammen.
13 , 27 × 453 , 7 = 6 020 , 599
Wenn ihr vergessen habt, wie man schriftlich multipliziert, solltet ihr noch mal nachschauen, wie das geht. Dann habt ihr, falls Überschlagen nicht weiterhilft, noch einen Plan B.
Manchmal kann es auch hilfreich sein, zwischen Dezimal- und Bruchschreibweise hin und her zu wechseln. Dafür muss man allerdings mit Brüchen sicher rechnen können …

Bruchrechnung

Manche Menschen werden mit Brüchen nie richtig warm. Da man aber, gerade wenn Formeln ins Spiel kommen, nicht um sie herumkommt, wollen wir in diesem Kapitel euer Wissen auffrischen.
Der Bruchstrich bedeutet nichts anderes als „geteilt durch“. Ihr könnt also alternativ auch „/“ oder „:“ verwenden. Da aber aus Gründen der Übersicht der Bruchstrich oft das Mittel der Wahl bleibt, sollte man sich auch mit ihm vertraut machen.

Rechnen mit zwei Brüchen

Multiplizieren
Multiplizieren Brüche

Brüche zu multiplizieren ist eigentlich ganz einfach: Man multipliziert Zähler mit Zähler (stehen über dem Bruchstrich) und Nenner mit Nenner (unter dem Bruchstrich).

Um sich das Ganze noch weiter zu vereinfachen, kann man u. U. kürzen, doch dazu später mehr.
Dividieren
Dividieren Brüche

Man teilt einen Bruch durch einen anderen, indem man mit dem Kehrwert multipliziert.

Da der Bruchstrich eigentlich für „geteilt durch“ steht, könnte man diese Aufgabe auch so notieren:
Addieren/Subtrahieren
AddierenBrücheSubtrahierenBücheWill man Brüche addieren, muss man zunächst ihre Nenner gleichmachen. Im Anschluss addiert bzw. subtrahiert man die Zähler und behält den Nenner bei.
Wenn nun aber Brüche nicht zufällig denselben Nenner haben? Dann muss man sie gleichnamig machen – es gibt zwei Möglichkeiten:
Kürzen und Erweitern
KürzenErweiternKürzen und Erweitern vernachlässigt man in der Schule spätestens dann, wenn man einen Taschenrechner verwenden darf. Grund genug, noch mal auf einige Aspekte einzugehen:

Beim Kürzen teilt man Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl.

Dies führt dazu, dass sich Zähler und Nenner ändern, ohne dass sich der Wert des Bruchs verändert.
Kürzen solltet ihr nicht nur, wenn ihr zwei Brüche auf den gleichen Nenner bringen müsst, sondern auch bei der Multiplikation, denn dann könnt ihr mit kleineren Zahlen rechnen. Um sich zu verdeutlichen, dass man bei der Multiplikation kürzen darf, bietet es sich an, beide Faktoren auf einen Bruchstrich zu schreiben. Aber Achtung: Beim Addieren und Subtrahieren darf nicht gekürzt werden … in Summen kürzen schließlich nur die Dummen!

Beim Erweitern multipliziert ihr Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl. Das wird wichtig, wenn ihr zwei Brüche nicht durch Kürzen gleichnamig machen – also auf den gleichen Nenner bringen – könnt.

Wenn euch kein Nenner einfällt, der ein Vielfaches eurer beiden Brüche sein könnte, dann fragt euch, welche Zahl herauskommt, wenn ihr die Nenner eurer beiden Brüche miteinander multipliziert.
7 × 13 = 91 , wir erweitern also auf 91
Übrigens: Wenn ihr einen Bruch in eine Dezimalzahl umrechnen wollt, solltet ihr ihn erweitern bzw. kürzen, sodass in seinem Nenner 1, 10, 100 etc. steht.

Rechnen mit einer ganzen Zahl und einem Bruch

Wenn ihr die Regeln zum Rechnen mit zwei Brüchen verinnerlicht habt, kann euch beim Rechnen mit ganzen Zahlen nichts mehr passieren, denn ihr könnt sie jederzeit als Bruch schreiben:

Zusammenfassung

  • Beim Multiplizieren großer Zahlen nimmt man am besten erst einmal die Nullen am Ende weg, in diesem Fall sind es insgesamt vier.

  • Um Brüche zu multiplizieren, multipliziert man Zähler mit Zähler (stehen über dem Bruchstrich) und Nenner mit Nenner (unter dem Bruchstrich).

  • Man teilt einen Bruch durch einen anderen, indem man mit dem Kehrwert multipliziert.

  • Beim Kürzen teilt man Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl.

  • Beim Erweitern multipliziert ihr Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl.

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