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978-3-437-42836-4

Wichtige Prozente und zugehörige Brüche/Dezimalzahlen

Tab. 2.1
Prozent Bruch Dezimalzahl
100 % 1⁄1 1
75 % 3⁄4 0,75
50 % 1⁄2 0,5
33 % 1⁄3 0,33
20 % 1⁄5 0,2
12,5 % 1⁄8 0,125
10 % 1⁄10 0,1
5 % 1⁄20 0,05
1 % 1⁄100 0,01
0,1 % bzw. 1 ‰ 1⁄1000 0,001

SI-Basisgrößen und Basiseinheiten

Tab. 2.2
Größe Einheit Einheitenzeichen
Länge Meter m
Masse Kilogramm kg
Zeit Sekunde s
Stromstärke Ampere A
Temperatur Kelvin K
Stoffmenge Mol mol
Lichtstärke Candela cd

Wichtige Vorsätze (weniger wichtige in Klammern)

Tab. 2.3
Präfix Symbol Faktor
Giga G 109
Mega M 106
Kilo k 103
(Hekto) h 102
(Deka) da 101
1 (100)
Dezi d 10–1
Zenti c 10–2
Mili m 10–3
Mikro μ 10–6
Nano n 10–9
Piko p 10–12
Femto f 10–15
(Atto) a 10–18

Einheiten und Gleichungen

EinheitenGleichungenRechnenEinheitenDie Einheiten sind beim Lösen von Gleichungen eine gute Stütze, um das Ergebnis zu überprüfen. Zudem liefern sie oftmals wertvolle Hinweise, wenn man mal nicht weiterweiß.

Bevor wir uns ans Rechnen mit Einheiten machen, sollten wir zunächst ein paar grundlegende Dinge klären.

Prozentrechnung

ProzentrechnenDas Rechnen mit Prozenten kennt man aus dem Alltag, sodass es eigentlich kein großes Problem darstellen sollte. Um auf Nummer sicher zu gehen, gibt es nun aber noch mal ein paar Tipps:
  • Wenn ihr angeben müsst, wie viel 27 % von 5 321 sind, solltet ihr wissen, dass 25 % einem Viertel entsprechen. Dann könnt ihr 5 321 durch 4 teilen.

  • Eine andere Methode, die bei jedem Wert funktioniert und das Wort „Prozent“, also „Hundertstel“, wörtlich nimmt, ist die folgende:

    27 % kann man auch als 27/100 schreiben. Als Erstes teilt ihr also den Ausgangswert durch Hundert. Da wir nun allerdings Meister des Überschlagens sind, teilen wir am besten 5 000 durch 100.

    5 000 : 100 = 50

    Nun müssen wir das Ganze mit 27 multiplizieren: 50 × 27 = 1 350

    Hätten wir ohne Überschlagen gerechnet, wäre das Ergebnis:

    5 321 × 0,27 = 1 436,67

    Mit ein bisschen Übung funktioniert diese Technik sogar recht schnell. Zudem lässt sie sich auch für das Rechnen mit Promille (‰) verwenden. Dafür muss man im ersten Schritt allerdings durch 1 000 statt durch 100 teilen.

  • Wenn man es richtig eilig hat, sollte man die Brüche bzw. Dezimalzahlen zu den gängigsten Prozenten parat haben. Die wichtigsten sind in Tab. 2.1 zusammengetragen.

    Wenn ihr nun also angeben müsst, wie viel 33 % von einer Zahl sind, teilt ihr einfach durch drei (den Nenner des Bruchs) und spart euch den Umweg über die Hundertstel.

SI-Basiseinheiten

SI-BasiseinheitenFür die Größe „Länge“ existieren viele Einheiten: Manche wie „Meter“ kennt mit Sicherheit jeder, während andere wie „Elle“ heute kaum noch geläufig sind. Daneben gibt es aber auch noch „Zoll“, „Fuß“ oder „Yard“.
Um etwas Ordnung in dieses Chaos zu bringen, wurde das Système International d' Unités (SI) geschaffen. In diesem System gibt es Basisgrößen (natürlich mit zugehörigen Basiseinheiten), aus denen sich alle anderen Größen (und auch deren Einheiten) ableiten lassen, diese findet ihr in Tab. 2.2.
Aber was ist mit Begriffen wie „Watt“, der Einheit der Leistung? Anstelle von Watt könnte man auch Joule pro Sekunde (J/s) schreiben. Und anstelle von Joule pro Sekunde kann man Watt (W) auch durch die drei Basiseinheiten kg, m und s darstellen:
1 W = 1 kg × m2/s3

Aus den Basiseinheiten des SI-Systems lassen sich alle anderen Einheiten ableiten!

Ihr solltet die sieben Basisgrößen und Einheiten auswendig kennen. Zudem solltet ihr euch, wenn wir uns mit der Physik befassen, merken, wie eine geläufige Einheit (z. B. Watt, Joule etc.) durch die Basiseinheiten dargestellt werden kann. Das wird insbesondere beim Rechnen mit Einheiten sehr wichtig.

Vorsätze

Da es sehr unpraktisch wäre, das Gewicht einer Zelle in Kilogramm anzugeben, gibt es Vorsätze (Präfixe), mit denen man seine Einheiten anpassen kann, damit die Zahlen, mit denen man arbeitet, handlicher werden. Eine kleine Zusammenstellung findet ihr in Tab. 2.3.
Um beim Rechnen mit diesen Vorsätzen nicht durcheinanderzukommen, sollte man von seinem gesunden Menschenverstand Gebrauch machen:
Wenn 1 Meter 100 Zentimetern entspricht, braucht man wesentlich mehr Nanometer (die sind schließlich noch viel kleiner), um auf 1 Meter zu kommen. Stellt euch am Ende jeder Rechenaufgabe die Frage, ob euer Ergebnis „Sinn macht“!
Für eine sichere Methode zum Umrechnen von Vorsätzen müssen wir zunächst noch ein paar andere Konzepte klären.

Lösen von Gleichungen

RechnenGleichungenGleichungenKeine Angst vor Formeln! Wenn man ein paar Dinge verinnerlicht und jede Gleichung mit System angeht, kann eigentlich nicht viel passieren … zumal man als Mediziner meistens von schwierigen Gleichungen verschont wird.

Allgemeines

Der Begriff Gleichung sagt es bereits: Das, was auf der linken Seite des Gleichzeichens steht, entspricht dem auf der rechten Seite. Wir wollen uns anhand eines simplen Beispiels mit Gleichungen und Formeln vertraut machen:
Arbeit = Kraft × Weg
W = F × s
Wir wollen uns über die Physik zunächst keine Gedanken machen, denn sie wird uns noch im letzten Teil dieses Buches beschäftigen, sodass wir uns jetzt voll und ganz auf die Mathematik konzentrieren können.
Diese Formel hilft uns weiter, wenn nach der Arbeit gefragt ist und wir die „Kraft“ bzw. den „Weg“ kennen. Nehmen wir an, die Kraft wäre 4 Newton (N) und die Strecke 3 Meter (m), dann wäre die zu verrichtende Arbeit:
W = 4 N × 3 m = 12 Nm
Wenn man nun aber Kraft und Arbeit gegeben hätte und berechnen muss, welcher Weg zurückgelegt wird, muss man die Formel so umstellen, das der Weg (s) alleine steht (auf welcher Seite des Gleichzeichens ist egal). Dafür nutzt man bei Gleichungen ein Prinzip, das dem Erweitern und Kürzen bei Brüchen nicht ganz unähnlich ist. Beim Erweitern und Kürzen geht man davon aus, dass sich der Wert eines Bruchs nicht ändert, wenn man in Zähler und Nenner die gleiche Rechenoperation durchführt.

Bei Gleichungen muss man auf beiden Seiten des Gleichzeichens die gleiche Rechenoperation durchführen, damit sich der Wert der Gleichung nicht ändert. Man spricht dabei auch von Äquivalenzumformungen.

Um unsere Gleichung so umzuformen, dass s alleine steht, teilt man auf beiden Seiten durch F:
W = F × s | : F
W : F = F × s : F
Das Ganze kann man vereinfachen zu:
W : F = s
Ein kleiner Tipp: Gerade bei komplizierteren Gleichungen fragt man sich manchmal, ob man richtig umgeformt hat. Um das zu überprüfen, muss man einfach in die ursprüngliche Gleichung Zahlen einsetzen, die die Gleichung erfüllen. In unserem Fall wäre das z. B.:
W = F × s
8 = 2 × 4
Wir haben also für W 8, für F 2 und für s 4 eingesetzt. Setzt man diese Zahlen in die ungeformte Gleichung ein, müsste wieder eine wahre Aussage zustande kommen.
W : F = s
8 : 2 = 4
Zugegeben, bei dieser Gleichung muss man diese Methode nicht unbedingt anwenden, aber wenn es schwieriger wird, erinnert euch an sie!

Textaufgaben

Aufstellen der Gleichung
TextaufgabenRechnenTextaufgabenDa die Formeln, mit denen man im Medizinstudium konfrontiert wird, i. d. R. recht simpel sind, liegt die Schwierigkeit meistens darin, aus einer Textaufgabe die nötigen Informationen zu extrahieren und die richtige Formel auszuwählen. Im Idealfall fällt euch schon beim Lesen der Aufgabe ein, welche Formel angewendet werden muss. Passiert dies nicht, braucht es einen Plan B:
  • 1.

    Notiert sämtliche Informationen, die ihr der Aufgabenstellung entnehmen könnt. Also z. B.: Strecke (s) = 50 m.

  • 2.

    Notiert die Größe, nach der gesucht wird – bei Multiple-Choice-Klausuren hilft ein Blick in die Antwortmöglichkeiten. Zum Bespiel: Arbeit (W) = ?

  • 3.

    Notiert alle Formeln, die ihr im Kopf habt, in denen die gesuchte Größe vorkommt. Im Idealfall sollten außer der gesuchten Größe nur die bekannten Größen vorkommen, denn dann könnt ihr die Gleichung sofort lösen.

  • 4.

    Findet ihr keine Gleichung, in der ihr alle Größen, außer der gesuchten kennt, wendet ihr dasselbe Prinzip für die andere fehlende Größe an. Vielleicht findet ihr ja eine Formel, mit der ihr sie berechnen könnt, sodass ihr mit dem Ergebnis die ursprüngliche Gleichung lösen könnt.

Einheiten in Textaufgaben
Folgende Hinweise helfen euch, Einheiten zu eurem Vorteil zu nutzen: Angenommen, ihr sollt in einer Aufgabe die Kraft (F) berechnen und habt die Arbeit W = 10 J und die Strecke s = 5 m gegeben.
  • Als Erstes sorgt ihr dafür, dass die Einheiten der gegebenen und gesuchten Größen übereinstimmen. Dafür bietet es sich an, auf die SI-Basiseinheiten zurückzugreifen. Wenn also nach der Kraft gefragt ist (die wird in Newton [N] angegeben) und ihr u. a. die Arbeit in Joule gegeben habt, wisst ihr nicht, wie ihr durch Rechnen von der einen Größe zur anderen kommen sollt. Wenn ihr euch aber erinnert, dass man statt Joule auch Nm also Newton × Meter schreiben könnte, seid ihr schon einen Schritt weiter.

  • Jetzt könnt ihr diese Aufgabe lösen, selbst wenn ihr keine Ahnung von Formeln habt. Ihr müsst lediglich schauen, wie sich die Einheit der gesuchten Kraft F aus den Einheiten der gegeben Größen erzeugen lässt. Wie könnt ihr mit Nm und m auf N kommen? Ganz einfach, durch dividieren:

Entsprechend rechnet ihr:

Zusammenfassung

  • Bei Rechenaufgaben reicht Überschlagen häufig aus.

  • Präfixe (Mili, Mikro, Nano etc.) müsst ihr sicher beherrschen.

  • Bei komplizierten Textaufgaben in Multiple-Choice-Klausuren helfen euch häufig die Einheiten der Antwortmöglichkeiten weiter.

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