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B978-3-437-42836-4.00044-8

10.1016/B978-3-437-42836-4.00044-8

978-3-437-42836-4

Abb. 44.1

[L253]

Kontinuität der Volumenstromstärke bei verändertem Rohrquerschnitt

Abb. 44.2

[L253]

Hydrostatisches Paradoxon: Am gesamten Boden des Gefäßes herrscht der gleiche Druck.

Flüssigkeiten

FlüssigkeitenFlüssigkeiten und Strömungslehre sind wahrscheinlich die Teilbereiche der Physik, die am engsten mit der Physiologie verknüpft sind, auf die ihr im Medizinstudium stoßen werdet. Grund genug, sich hier einen guten Überblick zu verschaffen.

Grundbegriffe und Größen

Volumen und Volumenstromstärke

VolumenDen Begriff des Volumens hatten wir im Chemieteil schon einige Male verwendet, ohne ihn wirklich zu definieren. Wenn wir nach dem Volumen fragen, versuchen wir, den Rauminhalt bzw. den Platzbedarf eines Körpers zu ermitteln. Im Alltag verwendet man für Volumina gerne die Einheit Liter, wohingegen in der Physik der Kubikmeter (m3) die SI-Einheit des Volumens darstellt.

Ein Kubikdezimeter (dm3) entspricht einem Liter (l).

Wenn ihr euch das nicht merken wollt, stellt es euch einfach bildlich vor, denn dann wird schnell klar, dass in einen Würfel mit der Kantenlänge 10 cm ungefähr 1 l Wasser passt. Wie viel Liter entsprechen einem Kubikmeter?
1 m3 = 1 000 Liter
Ein weiterer zentraler Begriff der Strömungslehre ist die VolumenstromstärkeVolumenstromstärke. Wenn man z. B. sagt, dass pro Sekunde rund 3000 m3 Wasser die Niagarafälle hinunterstürzen, gibt man den Quotienten aus Volumen, das an einem Punkt vorbeiströmt und der Zeit, die es dafür braucht, also die Volumenstromstärke I an.

Dichte

Wenn man versucht, 1 kg Eisenpulver und 1 kg Styroporkügelchen abzuwiegen, wird man feststellen, dass man wesentlich „mehr“, also ein größeres Volumen, Styropor benötigt. Um Stoffe unabhängig von ihrer Form und Größe vergleichen zu können, wurde die Dichte ρ (roh) definiert, die lediglich durch das Material, aus dem ein Körper besteht, bestimmt wird. Man berechnet sie, indem man die Masse des Körpers durch sein Volumen teilt.
Die Dichte ist temperaturabhängig. Erhitzt man einen Stoff, dehnt dieser sich grundsätzlich aus (und wechselt evtl. sogar den Aggregatzustand), sodass der Nenner unseres Bruchs zur Berechnung der Dichte größer wird. Da sich die Masse nicht ändert, sinkt die Dichte. Eine berühmte Ausnahme ist die Dichteanomalie des Wassers, denn Wasser hat bei rund 4 °C seine größte Dichte.

Die Dichte von Wasser beträgt bei Raumtemperatur knapp 1 000 kg/m3 bzw. 1 g/cm3.

Strömungsgeschwindigkeit und Kontinuitätsgleichung

StrömungsgeschwindigkeitKontinuitätsgleichungZurück zur Volumenstromstärke: Eine andere Möglichkeit das Volumen, das in einem bestimmten Zeitraum durch ein Rohr fließt, anzugeben, ist mittels der Strömungsgeschwindigkeit. Angenommen, wir wissen, dass das Wasser in einem Rohr mit der Geschwindigkeit von 1 m/s fließt. Wie erhalten wir nun den Volumenstrom? Ganz einfach, wir müssen die Strömungsgeschwindigkeit v mit der Querschnittsfläche A des Rohrs multiplizieren:
I = A × v
Da die meisten Rohre rund sind, sollten wir uns an dieser Stelle noch mal die Formel zur Flächeninhaltsberechnung eines Kreises in Erinnerung rufen:
A = π r 2
Angenommen, wir betrachten ein Rohr mit unterschiedlichen Querschnitten. Wenn Wasser kontinuierlich durch das Rohr fließt, bedeutet das, dass die Volumenstromstärke überall im Rohr gleich groß sein muss (Abb. 44.1). Wenn wir also an zwei beliebigen Punkten (A und B) die Volumenstromstärke messen, gilt:
IA = IB
Wenn sich aber die Querschnittsfläche des Rohrs ändert, muss sich auch die Geschwindigkeit ändern, sonst wäre der Volumenstrom nicht konstant. Zur Veranschaulichung ersetzen wir in unserer Gleichung einfach mal die Volumenstromstärke durch v und A.
A A × v A = A B × v B
Wenn an Punkt B das Rohr nur ein Viertel der Querschnittsfläche von Punkt A hat, muss die Geschwindigkeit über dieser Stelle 4-mal höher sein, damit die gleiche Menge Wasser transportiert werden kann, was auch in der Realität der Fall ist. So lassen sich z. B. Stenosen (also Verengungen) von Gefäßen aufspüren, weil über ihnen das Blut mit höherer Geschwindigkeit fließt. Den Umstand, dass der Volumenstrom in einem Rohr konstant ist, bezeichnet man als Kontinuitätsgleichung.

Hagen-Poiseuille-Gesetz

Hagen-Poiseuille-GesetzMit dem Hagen-Poiseuille-Gesetz (HPG) und dessen korrekter Aussprache werdet ihr im Studium noch genug zu tun haben, deswegen gibt es hier nur ein paar simple Vorüberlegungen:
Mithilfe des HPG kann der Widerstand R, den eine Flüssigkeit in einem Rohr (oder einem Blutgefäß) erfährt, berechnet werden. Damit dieser korrekt ermittelt wird, müssen noch ein paar andere Voraussetzungen erfüllt sein, die wir an dieser Stelle aber ignorieren. Viel wichtiger ist es, zu überlegen, wie R beeinflusst werden kann:
Angenommen, wir haben ein Rohr und wollen es einer Flüssigkeit möglichst schwer machen, durch das Rohr zu kommen (R soll groß werden). Wir könnten
  • die Länge des Rohrs erhöhen (l wird groß),

  • eine visköse (also zähe) Flüssigkeit einsetzen (η wird groß),

  • den Radius und damit die Querschnittsfläche des Rohrs verkleinern (r wird klein).

π und 8 sind dagegen Konstanten, auf die wir keinen Einfluss haben.

Hydrostatischer Druck

DruckhydrostatischerEine weitere Größe, die man im Zusammenhang mit Flüssigkeiten kennen sollte, ist der hydrostatische Druck. Dass am Boden eines mit Wasser gefüllten Gefäßes ein stärkerer Druck herrscht als an der Oberfläche, ist den meisten klar. Der hydrostatische Druck (Schwerdruck) lässt sich folgendermaßen berechnen:
p = ρ × g × h
  • Je höher die Dichte der Flüssigkeit, desto höher der hydrostatische Druck.

  • Je größer die Fallbeschleunigung/Ortsfaktor (auf der Erde 9,81 m/s2), desto höher der hydrostatische Druck.

  • Je größer die Eintauchtiefe, desto höher der hydrostatische Druck. Anders gesagt: Je höher die Flüssigkeitssäule, die auf dem Ort der Messung lastet, desto höher der hydrostatische Druck.

Die Einheit ist, wie bei jedem anderen Druck auch, N/m2 bzw. Pascal. Aus der Formel kann man erkennen, dass der hydrostatische Druck nicht von der Form des Gefäßes abhängt, sondern nur von der Eintauchtiefe, was als hydrostatisches Paradoxon bezeichnet wird (Abb. 44.2).

Auftrieb

AuftriebAuch die Tatsache, dass manche Körper im Wasser schwimmen, hat etwas mit dem Schweredruck zu tun. Wir wissen, dass mit zunehmender Tiefe der Druck auf einen Körper zunimmt. Folglich wirkt bei einem in einer Flüssigkeit (z. B. Wasser) eingetauchten Körper eine höhere Kraft auf den unteren Teil als auf den oberen des Körpers. Das resultiert in einer Kraft, die den Körper nach oben drückt – dem Auftrieb.
Wie groß ist diese Kraft? Der Auftrieb entspricht der Gewichtskraft, welche die Flüssigkeit, die normalerweise das Volumen des Körpers eingenommen hätte, erfahren würde:
F A = g × m Fl = g × V K × ρ Fl
In der Formel erkennt ihr, dass die Masse i. d. R. als Produkt von Dichte (der Flüssigkeit) und Volumen (des Körpers und damit auch der verdrängten Flüssigkeit) dargestellt wird. g ist der Ortsfaktor.
Folglich erfahren also ein Eisenblock und ein Styroporblock von je 1 m3 dieselbe Auftriebskraft, wenn sie beide in Wasser eingetaucht werden. Warum schwimmt nun der eine und der andere nicht?
Ganz einfach, der Styroporblock erfährt aufgrund seiner geringeren Dichte eine kleinere Gewichtskraft:
F G = g × V K × ρ K
Wenn die Gewichtskraft die Auftriebskraft übersteigt, steigt der Körper, was beim Styropor der Fall ist, während der Eisenblock sinkt.
Eisen schwimmt also nicht, weil ρEisen > ρWasser ist, sodass FG FA übersteigt ist. Bei einem Styroporblock sieht die Sache anders aus.

Zusammenfassung

  • Dichte ist Masse pro Volumen.

  • Volumenstromstärke ist Volumen pro Zeit.

  • Der hydrostatische Druck, der auf einen Körper in einer Flüssigkeit wirkt, hängt nur von dessen Eintauchtiefe und nicht von der Form des Gefäßes ab.

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