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B978-3-437-42836-4.00043-6

10.1016/B978-3-437-42836-4.00043-6

978-3-437-42836-4

Abb. 43.1

[L253]

Einarmiger Hebel am Beispiel des Unterarms. Bizeps und Gewicht erzeugen unterschiedliche Drehmomente.

Abb. 43.2

[L253]

Kreisbewegung, Zentripetalkraft (FZp) und Zentrifugalkraft (FZf)

Abb. 43.3

[L253]

W = F × s. Dabei zählt nur der Anteil von F, der in Richtung der Wegstrecke zeigt.

Mechanik

MechanikDie Mechanik bietet sich für den Einstieg an, da man hier mit Konzepten wie Geschwindigkeit und Beschleunigung arbeitet, mit denen ihr bereits aus dem Alltag vertraut seid.

Grundlagen

Geschwindigkeit und Impuls

GeschwindigkeitImpulsÜber die Geschwindigkeit müssen wir nicht allzu viele Worte verlieren: Wenn ihr eine bestimmte Strecke s in einer bestimmten Zeit t zurückgelegt habt, müsst ihr, um eure Durchschnittsgeschwindigkeit v (velocity) zu berechnen, s durch t dividieren:
Warum das „Delta“? Wir betrachten die Änderung der Strecke bzw. die Änderung der Zeit: Angenommen, ihr wollt die Durchschnittsgeschwindigkeit eines 100-m-Sprinters auf den letzten 30 m berechnen, dann dividiert ihr die Änderung der Strecke (von 70 m zu 100 m, also 30 m) durch die Änderung der Zeit (von 16 zu 23 s auf der Stoppuhr, also 7 s). Ihr solltet allerdings immer bedenken, dass es sich um die Durchschnittsgeschwindigkeit handelt und dass die Momentangeschwindigkeiten teilweise darüber und darunter lagen. Lediglich bei einer gleichförmigen Bewegung bleibt die Geschwindigkeit konstant und die Durchschnittsgeschwindigkeit entspricht der Momentangeschwindigkeit.
Übrigens: Die zwei geläufigsten Einheiten der Geschwindigkeit sind km/h und m/s.

Um euch in der Klausur viel Rechnen zu ersparen, solltet ihr euch merken, dass 1 m/s genauso schnell ist wie 3,6 km/h.

Die nächste Größe, mit der wir uns befassen wollen, ist der Impuls. Wenn ihr euch fragt, ob es schlimmer wäre, von einem 100 km/h schnellen Tischtennisball oder einem 100 km/h schnellen Golfball getroffen zu werden, würden die meisten Menschen wohl intuitiv den Golfball nehmen. Auch wenn beide Bälle gleich schnell fliegen, hat der schwerere Golfball nämlich den größeren Impuls p, der sich als Produkt von Masse und Geschwindigkeit des Körpers berechnet:
p = m × v
Und welche Einheit hat p? Die Masse hat die Einheit kg und die Geschwindigkeit die Einheit m/s, folglich hat p die Einheit:
[ p ] = kg × m / s

In einem geschlossenen System bleibt die Summe aller Impulse immer gleich.

Trifft eine Kugel auf eine Wand, ändert sie lediglich ihre Richtung und behält ihren Impuls. Beim Kontakt mit einer anderen Kugel wird Kugel A vielleicht etwas abgebremst und Kugel B dafür leicht beschleunigt – die Summe bleibt gleich. Man spricht folglich vom ImpulserhaltungssatzImpulserhaltungssatz.

Beschleunigung

BeschleunigungDie Änderung der Geschwindigkeit eines Körpers bezeichnet man als Beschleunigung. Hat die Beschleunigung einen positiven Wert, wird der Körper schneller, wohingegen eine negative Beschleunigung dem Abbremsen des Körpers entspricht. Die Beschleunigung a (acceleration) ist also nichts anderes als die Änderung der Geschwindigkeit v während eines Zeitraums:
Auch die Einheit der Beschleunigung könnt ihr euch herleiten, wenn ihr mit Brüchen rechnen könnt:

Kraft

Damit ein Körper seine Geschwindigkeit ändert, muss auf ihn eine Kraft wirken, sonst würde er sich für immer gleich schnell weiterbewegen. Kräfte sind also essenziell, um einen Körper zu beschleunigen.
Die Formel für die KraftKraft F (force) lautet:
F = m × a
Mit ihr könnt ihr z. B. ausrechnen, welche Kraft benötigt wird, um einen Gegenstand der Masse m um a zu beschleunigen.
Alternativ könnt ihr die Formel auch nach a auflösen. Mit dieser Formel erfahrt ihr dann, was für eine Beschleunigung entsteht, wenn ihr auf einen Gegenstand der Masse m eine Kraft F ausübt.
Die Einheit der Kraft erhaltet ihr natürlich, indem ihr die Einheiten von Masse und Beschleunigung miteinander multipliziert. Damit man nicht immer so viel schreiben muss, fasst man sie auch gerne als Newton (N) zusammen:
Eine besondere Kraft, der wir permanent ausgesetzt sind, ist die GravitationskraftGravitationskraft der Erde bzw. die Erdanziehungskraft. Wenn wir ihr permanent ausgesetzt sind, warum werden wir dann nicht immer schneller (schließlich führt eine Kraft zu einer Beschleunigung)? Weil wir uns häufig in einem Kräftegleichgewicht befinden, indem sich alle Kräfte, denen unser Körper ausgesetzt ist, so neutralisieren, dass wir nicht weiter Richtung Erde beschleunigt werden. Wenn wir von unserem Schreibtisch springen, merken wir allerdings schnell, dass die Erde sehr wohl in der Lage ist, uns zu beschleunigen. Diese Erdbeschleunigung wird auch als g abgekürzt (obwohl man wie für jede Beschleunigung auch a nehmen könnte) und beträgt 9,81, also ungefähr 10 m s-2.
Die Gravitationskraft hängt u. a. von der Masse der beteiligten Partner ab. Das führt dazu, dass wir uns auf dem Mond „leichter“ fühlen, obwohl wir natürlich noch die gleiche Masse haben – lediglich die Gewichtskraft (also die Kraft, die auf dem Mond auf uns wirkt) ist kleiner.

Drehmoment und Hebelgesetz

DrehmomentHebelgesetzObwohl es bei Drehmoment und Hebelgesetz schon etwas weg von der linearen Bewegung hin zur Kreisbewegung geht, wollen wir diese beiden Dinge bereits jetzt besprechen, da sie definitiv zu den Grundlagen zählen und auch gerne geprüft werden. Da die gestellten Fragen zudem meist recht simpel sind, lassen sich hier leichte Punkte ernten.
Das klassische Beispiel zur Illustration des Drehmoments ist eine Wippe: Angenommen Person A sitzt auf der einen Seite einer Wippe, dann zeigt das andere Ende der Wippe in die Luft. Das liegt daran, dass Person A ein Drehmoment M erzeugt. Dieses berechnet sich aus der Kraft F, die Person A auf die Wippe ausübt, und dem Abstand zwischen dem Ansatzpunkt der Kraft und dem Drehpunkt der Wippe, dem Hebel- oder Kraftarm l.
M = F × l
Setzt sich nun Person B zu Person A auf dieselbe Seite der Wippe, so addieren sich die Drehmomente. Würde sich Person C auf die andere Seite des Drehpunkts der Wippe setzen, würde sein Drehmoment in die entgegengesetzte Richtung zeigen, sodass man die Drehmomente subtrahieren müsste, um herauszufinden, welches am größten ist. Würde Person C das größere Drehmoment erzeugen, bewegt sich die Wippe.
Übrigens: Bei Aufgaben wie dieser sollte man, um nicht durcheinander zu kommen, jedem Drehmoment einen Index zuweisen, sodass er eindeutig einer Person zugeordnet werden kann, also z. B. MA für das Drehmoment von Person A etc. Auch wenn zwei Kräfte auf derselben Seite des Drehpunkts ansetzten, können entgegengesetzte Drehmomente resultieren. Dafür müssen dann natürlich die Kräfte in entgegengesetzte Richtungen weisen, wie in Abb. 43.1 zu sehen ist.
Das Drehmoment hängt auch davon ab, in welchem Winkel die Kraft am Hebelarm ansetzt. Da dieser Winkel in den meisten Aufgaben allerdings 90° beträgt, sodass wir die eben genannte Formel unverändert anwenden können, verzichten wir aus Platzgründen an dieser Stelle auf weitere Ausführungen.

Druck

DruckAuch der Druck wird noch ausführlicher im Kap. 44 besprochen, aber es schadet nicht, den Begriff bereits an dieser Stelle zu definieren.
Angenommen, ihr sitzt in der Vorlesung neben einem gemeinen Kommilitonen. Wenn dieser mit der flachen Hand gegen euren Arm drückt, also eine Kraft F auf euch ausübt, ist das i. d. R. zwar nervig, aber nicht schmerzhaft. Wie könnte der Kommilitone eure Vorlesung unangenehmer gestalten? Entweder er erhöht die Kraft, indem er stärker drückt, oder er verringert die Fläche, auf die sich die Kraft konzentriert, indem er z. B. statt mit der flachen Hand mit den Fingerknöcheln (oder mit einem Bleistift) Druck ausübt. Der Druck p (pressure) berechnet sich nämlich als Quotient aus der Kraft F, die senkrecht auf eine Fläche A (area) wirkt, und der Größe von A:
Die Einheit von p erhält man, indem man die Einheit von F durch die von A teilt:
Alternativ kann man auch von Pascal (Pa) statt N/m2 sprechen.

Kreisbewegung

Während wir uns bei den Grundlagen noch vorwiegend auf lineare Bewegungen fokussiert haben, kommen wir nun zu Kreisbewegungen. Als Beispiel stellen wir uns vor, dass wir in einem Karussell sitzen.

Bahn- und Winkelgeschwindigkeit

WinkelgeschwindigkeitWenn wir unsere Geschwindigkeit angeben wollen, bietet es sich an, einfach die Strecke, die wir in unserer Gondel zurücklegen, durch den Zeitraum zu teilen, den wir dafür benötigen. In diesem Zusammenhang werden die Begriffe Bahn- oder RadialgeschwindigkeitRadialgeschwindigkeit verwendet.
Es gibt allerdings ein Problem: Angenommen, in einer Gondel, die näher am Drehpunkt des Karussells (also weiter innen) aufgehängt ist, sitzt eine andere Person. Diese Person legt bei einer Umdrehung des Karussells (also im gleichen Zeitraum) eine geringere Strecke zurück. Folglich ist auch seine Geschwindigkeit kleiner als unsere, obwohl wir im selben Karussell sitzen. Aus diesem Grund können wir bei der Kreisbewegung noch eine andere Geschwindigkeit angeben, die für alle Personen im Karussell gleich ist, nämlich die Winkelgeschwindigkeit ω (Omega). Sie ist definiert als der Winkel, um den sich unser Karussell in einem bestimmten Zeitraum dreht, dividiert durch eben diesen Zeitraum. Der Winkel wird allerdings nicht in Grad, sondern im Bogenmaß (rad) angegeben, sodass die Einheit der Winkelgeschwindigkeit rad/s bzw. rad s–1 ist. Wie kommt man nun von der Winkelgeschwindigkeit zur Bahngeschwindigkeit der Gondeln? Ganz einfach, wir multiplizieren mit dem Radius, also dem Abstand der Gondeln von Drehpunkt.
v = ω × r

Zentripetal- und Zentrifugalkraft

ZentrifugalkraftWenn wir in einem Karussell sitzen, das sich im Kreis dreht, ändern wir permanent unsere Richtung, schließlich bewegen wir uns ja nicht geradeaus. Ändert ein Körper einfach so seine Richtung? Nein, Körper sind träge und bewegen sich nur in eine Richtung, wenn sie durch eine Kraft in diese Richtung beschleunigt werden. Auf uns muss also eine Kraft wirken, die uns permanent zum Drehpunkt des Karussells hin beschleunigt. Diese Kraft nennt sich ZentripetalkraftZentripetalkraft FZp (Abb. 43.2).
F Zp = m × r × ω 2
Die meisten von euch werden eher den Begriff Zentrifugal- bzw. Fliehkraft kennen, schließlich hat man ja auch das Gefühl, in einem Karussell gegen die äußere Wand der Gondel gedrückt, anstatt nach innen beschleunigt zu werden. Die Zentrifugalkraft ist allerdings eine Scheinkraft. Das, was wir eigentlich spüren, ist unsere eigene Trägheit. Unser Körper will viel lieber die schon eingeschlagene Richtung beibehalten, sodass wir das Gefühl haben, gegen die Wand der Gondel gepresst zu werden, die nach innen beschleunigt wird und uns letztlich mitbewegt. Diese Trägheit macht man sich bei Zentrifugen zunutze, um Stoffe voneinander zu trennen.

Frequenz und Periodendauer

FrequenzPeriodendauerZum Abschluss wollen wir noch zwei Begriffe klären, die im Zusammenhang mit Kreisbewegungen sehr wichtig sind. Die Zeit, die ein Objekt wie unsere Gondel für einen vollen Umlauf des Kreises benötigt, heißt Periodendauer T und wird normalerweise in Sekunden gemessen. Wenn wir T und den Umfang des Kreises kennen, können wir daraus die Bahngeschwindigkeit v unseres Objekts berechnen. Anstelle des Umfangs genügt es uns, alternativ auch den Radius r des Kreises zu kennen, denn aus ihm können wir den Umfang U berechnen:
U = 2 × π × r
Angenommen, ein Objekt benötigt für einen vollen Umlauf auf seiner Kreisbahn nur 0,25 s. Nun kann es u. U. sinnvoll sein, den Anteil des Kreises anzugeben, den das Objekt in 1 s zurücklegt, die Frequenz f. Wie kommt man von der Periodendauer T = 0,25 s auf die Frequenz? Ganz einfach: Man bildet den Kehrwert des Bruchs.
T = 0 , 25 s = 1 4 s
Wir sehen: Unser Objekt absolviert in 1 s vier volle Umläufe. Die Frequenz ist „vier pro Sekunde“.

Energie

Energie„Energie ist die Fähigkeit, Arbeit zu verrichten.“ So oder so ähnlich findet sich dieser Satz wahrscheinlich in euren Physikbüchern aus der Schulzeit. Den Begriff Energie exakt zu definieren (und dann noch einen Satz) ist aber deutlich schwieriger. Der Einfachheit halber können wir uns in diesem Buch auf die anschauliche Definition beschränken.

Arbeit

ArbeitWenn wir Energie als die „Fähigkeit, Arbeit zu verrichten“ definieren wollen, sollten wir zunächst klären, was Arbeit im Rahmen der Mechanik ist: Wenn wir einen Körper mit der Kraft F entlang der Strecke s bewegen, verrichten wir Arbeit. Die Formel für die Arbeit W (work) ist also:
W = F × s
Ziemlich intuitiv: Wenn wir mehr Kraft aufwenden müssen, um einen Körper zu bewegen, oder diese Bewegung über eine längere Strecke ausführen, verrichten wir mehr Arbeit.
Die Einheit der Arbeit ist das Produkt der Einheiten von Kraft und Weg, also Newton und Meter. Anstelle von einem Newtonmeter (Nm) spricht man auch von einem Joule (J).
[ W ] = [ F ] × [ s ] = N × m = Nm = J
Joule ist zudem die Einheit der Energie. Das ist natürlich praktisch, denn auf diese Weise können wir aus der Energie direkt ablesen, wie viel Arbeit mit ihrer Hilfe verrichtet werden kann.
Übrigens: Für die Berechnung der Arbeit zählt nur der Anteil eurer Kraft, der in Richtung des Wegs (der Strecke s) zeigt (Abb. 43.3). Wenn ihr also eine Kiste nicht nur entlang der Strecke s schiebt, sondern auch durch einen ungünstigen Winkel die Kiste permanent etwas nach oben drückt, zählt lediglich die Kraftkomponente, die parallel zum Boden in Richtung s verläuft.

Leistung

LeistungBleiben wir beim Beispiel unserer Kiste. Angenommen, ihr wollt die Kiste entlang der Strecke s = 100 m schieben. Um das zu bewerkstelligen, werdet ihr die Kraft F aufbringen müssen, schließlich wird sich die Kiste nicht freiwillig bewegen. Das Produkt aus Kraft und Weg, sprich die Arbeit, die ihr aufwenden müsst, ist also in gewisser Weise vorgegeben. Trotzdem wird es einen Unterschied machen, ob ihr versucht, diese Strecke in 20 s oder 2 min zurückzulegen und das, obwohl ihr in beiden Fällen dieselbe Arbeit verrichtet.
Der Unterschied liegt in der Leistung. Leistung P (power) ist der Quotient aus der Arbeit und der Zeit, in der diese Arbeit verrichtet wurde. Die Einheit der Leistung ist folglich Joule pro Sekunde. Anstelle von Joule pro Sekunde spricht man aber v. a. im Alltag häufig von Watt:
Bitte beachtet: Das „P“ der Leistung ist groß und nicht klein wie beim Druck p. Außerdem müsst ihr aufpassen, damit ihr nicht große W der Einheit Watt mit dem W der Größe Arbeit verwechselt.

  • Viel Arbeit in kurzer Zeit = große Leistung

  • Wenig Arbeit für die viel Zeit benötigt wird = kleine Leistung

Wenn ihr also eine Leistung gegeben habt (z. B. 10 W), müsst ihr diese nur mit der Zeitraum multiplizieren, in dem sie aufgebracht wurde (z. B. 50 s), um die geleistete Arbeit zu berechnen:
W = P × t = 10 W × 50 s = 10 J / s × 50 s = 500 J

Verschiedene Formen von Energie

Arbeit ist nicht gleich Arbeit. Wenn ihr eine Kiste auf euren Schrank hebt, verrichtet ihr HubarbeitHubarbeit. Wenn ihr gegen einen Ball tretet, sodass dieser losrollt, verrichtet ihr BeschleunigungsarbeitBeschleunigungsarbeit. Passend dazu gibt es verschiedene Arten von Energien. Wenn Energie verwendet wird, um Arbeit zu verrichten, ist die Energie nicht verschwunden, sondern geht in eine andere Form von Energie über.

Energie kann (zumindest in einem geschlossenen System) nicht verloren gehen.

Man spricht vom Energieerhaltungssatz.Energieerhaltungssatz

Ein gutes Beispiel: Wenn ihr eine Kugel aus dem Fenster eurer Wohnung im 10. Stock haltet, hat sie potenzielle Energie bzw. Höhenenergie. Lasst ihr die Kugel los, wird diese Höhenenergie langsam in kinetische Energie (Bewegungsenergie) umgewandelt – die Kugel beschleunigt. Wenn die Kugel am Boden ankommt, ist ihre Höhenenergie vollständig in kinetische Energie umgewandelt worden, die dann u. U. den Gegenstand verformt, auf den sie bei ihrem Einschlag trifft.
Wenn man das ganze tatsächlich wie beschrieben durchführt (und nicht etwa im Vakuum), würde man feststellen, dass nicht die komplette Höhenenergie in kinetische Energie umgewandelt wird. Beim Fallen reiben nämlich die Teilchen der Luft an unserer Kugel und es entsteht Wärme. Ein Teil unserer mechanischen Energie wird also in Wärmeenergie umgewandelt. Diese hat zwar ihrerseits auch die Möglichkeit Arbeit zu verrichten, steht aber nicht mehr für die Beschleunigung unserer Kugel zur Verfügung.

Zusammenfassung

  • Aus diesem Kapitel solltet ihr euch die vorgestellten Größen, ihre ungefähre Herleitung und Einheiten einprägen.

  • Da in der Medizin häufig mit Drücken gearbeitet wird: Druck ist Kraft pro Fläche.

  • In einem geschlossenen System geht keine Energie verloren.

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