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B978-3-437-42836-4.00003-5

10.1016/B978-3-437-42836-4.00003-5

978-3-437-42836-4

Abb. 3.1

[L231]

Zerfallsaktivität/Teilchenzahl in Abhängigkeit von der Zeit für Stoff x mit einer Halbwertszeit von 10 min

Bei Stoff x mit Halbwertszeit von 10 min dauert es mehr als 40 min, bis die Aktivität unter 10 % gefallen ist.

Tab. 3.1
Halbwertszeiten Dauer Teilchen/Zerfallsaktivität
0 0 min 100 %
1 10 min 50 %
2 20 min 25 %
3 30 min 12,5 %
4 40 min 6,25 %
5 50 min 3,125
6 60 min 1,5625

Potenzen, Logarithmen, Halbwertszeit

PotenzenLogarithmenHalbwertszeitRechnenPotenzenRechnenLogarithmenRechnenHalbwertszeitAuch anspruchsvollere Rechenoperationen, die man als Medizinstudent durchführen muss, sind kein Grund zur Sorge.

Potenzen

Potenzen bestehen aus einer Basis und einer kleinen hochgestellten Zahl, dem Exponenten. Der Exponent gibt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird:
2 4 = 2 × 2 × 2 × 2
Von besonderer Bedeutung in den Naturwissenschaften sind dabei die Potenzen mit der Basis 10, die ihr schon in der Tabelle der Einheitenvorsätze kennengelernt habt. Damit ihr euch an diesen Anblick gewöhnt, werden sie in diesem Kapitel für die meisten Beispielaufgaben verwendet:
2 × 10 3 = 2 000
Es gilt: Die Potenz wird zuerst ausgerechnet (103 = 1000), und dann wird mit 2 multipliziert. Ihr könnt euch auch einfach merken, dass der Exponent der Zehnerpotenz euch sagt, wie viele Nullen ihr an den Faktor davor anhängen müsst, um zum Ergebnis zu kommen.
Was bedeutet 101? Die 10 wird einmal mit sich selbst multipliziert – das Ergebnis lautet folglich 10.
Was bedeutet 100? Wann immer der Exponent 0 ist, ist der Wert der Potenz 1, völlig unabhängig von der Basis:
1 0 = 10 0 = 397 0 = 1
Gibt es auch negative Exponenten? Aber klar, in diesem Fall wandert die Basis in den Nenner eines Bruchs, der immer den Zähler 1 hat, und der Exponent wird positiv:
Möchte man zwei Potenzen multiplizieren, klappt das besonders gut, wenn die Basen der Potenzen gleich sind, denn dann muss man lediglich die Exponenten addieren:
10 3 × 10 5 = 10 3 + 5 = 10 8
10 3 × 10 5 = 10 3 + ( 5 ) = 10 2
Will man zwei Potenzen mit gleicher Basis dividieren, muss man die Exponenten – Überraschung – subtrahieren:
10 8 : 10 5 = 10 8 5 = 10 3
Müsst ihr eine Potenz noch mal potenzieren, multipliziert ihr die Exponenten:
( 10 3 ) 2 = 10 3 × 2 = 10 6
Der Vollständigkeit halber: Wenn ihr eine beliebige Wurzel aus einer Potenz ziehen müsst, teilt den Exponenten durch die Wurzel. Für die „normale“ Quadratwurzel teilt ihr folglich den Exponenten durch zwei:
Das Wurzelziehen aus Potenzen sollte euch aber in den meisten Prüfungen erspart bleiben.

Sicheres Umrechnen mit Potenzen

EinheitenUmrechnenBeim Umrechnen von Zentimeter in Meter hat normalerweise niemand Probleme. Muss man von Mikrometer in Zentimeter umrechnen, wird das Ganze schon schwieriger, und soll man Quadratmikrometer in Quadratdezimeter umrechnen, müssen die meisten Studenten erstmal länger überlegen. Damit ihr beim Umrechnen von Einheitenvorsätzen keine Punkte verschenkt, lernen wir an dieser Stelle eine Methode kennen, mit der man auch unter Druck zum richtigen Ergebnis gelangt. Unsere Aufgabe lautet, 23 Mikrometer (µm) in Zentimeter (cm) umzurechnen:
  • 1.

    Schreibt euch die umzurechnende Größe auf und zwar so, dass ihr die Einheit und den Zahlenwert als Bruch darstellt:

  • 1.

    Nun müsst ihr euch einen Bruch überlegen, der dazu führt, dass sich die „alte“ Einheit rauskürzt und nur die „neue“ Einheit stehenbleibt, wenn ihr ihn multipliziert:

  • 1.

    Jetzt habt ihr hoffentlich im Kopf, was die Vorsilben bedeuten (falls nicht, schaut auf die Faktoren in Tab. 2.3). Dann solltet ihr wissen, dass 1 Zentimeter 104 Mikrometern entspricht. Diese Zahlen schreibt ihr nun vor euren kreierten Bruch.

  • 1.

    Nun wird multipliziert und gekürzt:

Logiktest: 1 µm ist kürzer als 1 cm. Entsprechend muss unser Ergebnis in Zentimeter einen kleineren Zahlenwert haben. Wir sehen – es passt!
Jetzt fragt man sich vielleicht, ob diese umständliche Methode wirklich sinnvoll ist. Wirklich vorteilhaft wird sie v. a. bei schwierigeren Rechnungen. Angenommen, wir müssen 14 Quadratzentimeter in Quadratmikrometer umrechnen:
  • 1.

  • 2.

  • 3.

  • 4.

    Nicht vergessen: Die Zahlenwerte müssen noch quadriert werden:

Logarithmen

Log216 wird „Logarithmus zur Basis 2 von 16“ gelesen und ist eigentlich eine Frage, die lautet: Wie oft muss man die Zahl 2 mit sich selbst multiplizieren, um auf 16 zu kommen. Oder anders geschrieben:
2 × = 16
Da ihr wisst, dass 2 × 2 × 2 × 2 = 16 ist, wisst ihr folglich auch:
log 2 16 = 4
Im Medizinstudium müsst ihr euch v. a. mit Logarithmen zur Basis 10 befassen (z. B. beim pH-Wert), der auf dem Taschenrechner oder in Lehrbüchern gerne als log (ohne Basis) abgekürzt wird. Folglich gilt:
log ( 1 ) = 0
log ( 10 ) = 1
log ( 100 ) = 2
Der natürliche Logarithmus wird als ln abgekürzt und hat als Basis die Eulersche Zahl e (≈ 2,718 …). Das Rechnen mit Logarithmen bleibt euch an dieser Stelle und meistens auch im Studium erspart.
Logarithmen erfreuen sich allerdings großer Beliebtheit bei der Achsenbeschriftung von Diagrammen, in denen verschiedene Größenordnungen abgedeckt werden müssen. Die Besprechung dieser Diagramme würde allerdings den Rahmen sprengen.

Halbwertszeit

Radioaktive Stoffe zeichnen sich dadurch aus, dass sie zerfallen. Die Geschwindigkeit dieses Zerfalls ist aber von Stoff zu Stoff unterschiedlich.

Mit der Halbwertszeit gibt man die Zeit an, nach der nur noch die Hälfte der ursprünglichen Stoffmenge vorhanden ist.

Das hat den Vorteil, dass die Halbwertszeit für einen Stoff konstant ist, egal ob man nun 10 000 oder 10 000 000 Atome dieses Stoffs betrachtet. Da die Anzahl der Atome, die zerfallen, ebenfalls von der Anzahl der vorhandenen Atome abhängt, gilt die Halbwertszeit auch für die Zerfallsaktivität (Abb. 3.1) eines Stoffs.
Nach einer Halbwertszeit sind also nur noch 50 % der Atome vorhanden. Und nach einer weiteren Halbwertszeit? Ganz klar: 25 %! Weil weniger Atome vorhanden sind, nimmt die Zerfallsaktivität folglich ab. Für einen Stoff x mit einer Halbwertszeit von 10 min ergeben sich folglich die Werte aus Tab. 3.1.

Zusammenfassung

  • Wenn ihr die Präfixe und das Rechnen mit Potenzen beherrscht, kann euch beim Umrechnen von Einheiten nichts passieren.

  • Nach der Halbwertszeit ist nur noch die Hälfte der ursprünglichen Stoffmenge eines radioaktiven Stoffes vorhanden. Die Zerfallsaktivität hat sich ebenfalls halbiert.

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